Question

某學校為了選拔學生參加“XX市中學生知識競賽”，先在本校進行選拔測試（滿分150分），若該校有100名學生參加選拔測試，并根據選拔測試成績作出如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）根據頻率分布直方圖，估算這100名學生參加選拔測試的平均成績；
（2）若通過學校選拔測試的學生將代表學校參加市知識競賽，知識競賽分為初賽和復賽，初賽中每人最多有5次答題機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽．假設參賽者甲答對每一個題的概率都是，求甲在初賽中答題個數的分布列和數學期望．

Answer 1

（1）；（2）的分布列為

	3	4	5
p

 
數學期望.

試題分析：（1）利用頻率分布直方圖求平均值，取各組的中間值，乘以各組的頻率再相加即得，即，其中為第組數據的頻率，是第組數據的中間值.（2）首先確定隨機變量的所有可能值.記甲在初賽中的答題個數為隨機變量，顯然他至少都要答3個題，最多答5個題.所以的可能值為3，4，5，表示前3個題都答對或都答錯；表示前3個題中恰好答對2個且第4個答對或前3個題中恰好答錯2個且第4個答錯；表示前4個題中恰好答對2個.據此即可求出的分布列及期望.
（1）設平均成績的估計值為，則：

． 4分
（2）記甲在初賽中的答題個數為隨機變量，這的可能值為3，4，5，
，，
（或）．
10分
則的分布列為

	3	4	5
p

 
所以數學期望． 12分