Question

如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；
（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；
（3）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：本題有兩種方法，第一種是傳統方法：（1）連接，先由正方體的性質得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長度，再結合勾股定理得到的長度，最終得到的長度；（3）先延長、交于點，連接，找出由平面與平面所形成的二面角的棱，借助平面，從點在平面內作，連接，利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中計算的余弦值；
第二種方法是空間向量法：（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，確定與的坐標，利用來證明，進而證明
；（2）先利用平面與平面平行的性質定理得到，然后利用空間向量共線求出點的坐標，進而求出的長度；（3）先求出平面和平面的法向量，結合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角，最后再利用兩個平面的法向量的夾角來進行計算.
試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，
且平面，，
，平面，
平面，；
（2）如下圖所示，假設、、、四點共面，則、、、四點確定平面，

由于為正方體，所以平面平面，
平面平面，平面平面，
由平面與平面平行的判定定理得，
同理可得，因此四邊形為平行四邊形，，
在中，，，，
由勾股定理得，
在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，
由勾股定理可得，
結合圖形可知，解得；
（3）延長、，設，連接，則是平面與平面的交線，
過點作，垂足為點，連接，
因為，，所以平面，
因為平面，所以，
所以為平面與平面所成二面角的平面角，
因為，即，因此，

在中，，，
所以，
即，
因為，
所以，
所以，
所以，故平面與平面所成二面角的余弦值為.
空間向量法：
（1）證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，

所以，，因為，
所以，所以；
（2）設，因為平面平面，
平面平面，平面平面，所以，
所以存在實數，使得，
因為，，所以，
所以，，所以，
故當時，、、、四點共面；
（3）由（1）知，，
設是平面的法向量，
則，即，
取，則，，所以是平面的一個法向量，
而是平面的一個法向量，
設平面與平面所成的二面角為，
則，
故平面與平面所成二面角的余弦值為；
第（1）、（2）問用推理論證法，第（3）問用空間向量法，
（1）、（2）給分同推理論證法.
（3）以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，
則，，
設是平面的法向量，

則，即，
取，則，，所以是平面的一個法向量，
而是平面的一個法向量，
設平面與平面所成的二面角為，
則，
故平面與平面所成二面角的余弦值為；