Question

有如下四個命題：
①若直線l₁：2kx+（k+1）y+1=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，則實數k=1；
②若函數f（x）=sin（ωx+

π

3

）在[0，2π]上恰有一最大值與一個最小值則

7

12

≤ω＜

13

12

③已知定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），且f（1）=1則f（2011）=1
④曲線C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1關于直線y=-x對稱．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：直線與直線垂直求出k的值判斷①的正誤；
利用函數f（x）=sin（ωx+

π

3

）在[0，2π]上恰有一最大值與一個最小值求出ω，判斷②的正誤；
通過定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），且f（1）=1求出f（2011）的值判斷③的正誤；
通過曲線C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1的性質判斷④關于直線y=-x對稱的正誤．
得到正確選項．

解答：解：①若直線l₁：2kx+（k+1）y+1=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，則實數k=1；而k=0時兩條直線垂直，所以不正確．
②若函數f（x）=sin（ωx+

π

3

）在[0，2π]上恰有一最大值與一個最小值，所以

5π

2

＞2πω+

π

3

≥

3π

2

則

7

12

≤ω＜

13

12

，正確．
③已知定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），函數的周期為4且f（1）=1則f（2011）=f（3）=f（1）=1，正確；
④曲線C：

x|x|

a2

-

y|y|

b2

=1，當x＞0，y＞0是焦點在x軸雙曲線的一部分；x＞0，y＜0 是橢圓的一部分；x＜0，y＜0 是焦點在y軸的雙曲線的一部分；x＜0，y＞0不表示曲線，所以曲線關于直線y=-x對稱，不正確．
故答案為：②③．

點評：本題是中檔題，考查直線與直線的位置關系，三角函數的圖象的應用，函數的基本性質，曲線的對稱性，考查邏輯推理能力，計算能力．