Question

已知f(x)=ax-

b

x

-2lnx，且f(e)=be-

a

e

-2（e為自然對數的底數）．
（1）求a與b的關系；
（2）若f（x）在其定義域內為增函數，求a的取值范圍；
（3）證明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N，n≥2)
（提示：需要時可利用恒等式：lnx≤x-1）

Answer 1

分析：（1）直接利用 f(e)=be-

a

e

-2，可得 ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2，化簡可得a與b的關系．
（2）求出f′（x）=

ax2-2x+a

x2

，令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）為增函數，h（x）≥0恒成立，即a≥

2x

x2+1

 在（0，+∞）上恒成立，而由基本不等式可得

2x

x2+1

的最大值等于1，所以a≥1．
（3）先證：lnx-x+1≤0  （x＞0），可得

lnx

x

≤1-

1

x

，令x=n²，

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

n2

），
 可得  

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

 ）＜

1

2

[n-1-（

1

2×3

+

1

3×4

+… +

1

n(n+1)

）]
=

1

2

[n-1-（ 

1

2

 -

1

n+1

 ）]，化簡即得不等式的右邊．

解答：解：（1）由題意f(x)=ax-

b

x

-2lnx，f(e)=be-

a

e

-2，∴ae-

b

e

-2=be-

a

e

-2，
∴（a-b）（e+

1

e

）=0，∴a=b．
（2）由（1）知：f(x)=ax-

b

x

-2lnx，（x＞0），∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）為增函數，只需h（x）在（0，+∞）滿足：h（x）≥0恒成立．
即ax²-2x+a≥0，a≥

2x

x2+1

 在（0，+∞）上恒成立．
又∵0＜

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，x＞0，所以a≥1．
（3）證明：先證：lnx-x+1≤0  （x＞0），設K（x）=lnx-x+1，則K′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

．
當x∈（0，1）時，k′（x）＞0，∴k（x）為單調遞增函數；
當x∈（1，+∞）時，k′（x）＜0，∴k（x）為單調遞減函數；
∴x=1為k（x）的極大值點，∴k（x）≤k（1）=0．  即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．
由上知 lnx≤x-1，又x＞0，∴

lnx

x

≤1-

1

x

．
∵n∈N₊，n≥2，令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

，∴

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

n2

），
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

 ）
=

1

2

[n-1-（

1

22

+

1

32

+… +

1

n2

）]＜

1

2

[n-1-（

1

2×3

+

1

3×4

+… +

1

n(n+1)

）]
=

1

2

[n-1-（

1

2

- 

1

3

+

1

3

-

1

4

+…

1

n

-

1

n+1

 ）]=

1

2

[n-1-（ 

1

2

 -

1

n+1

 ）]=

2n2-n-1

4(n+1)

，
故要證的不等式成立．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，用放縮法證明不等式，體現了轉化的數學思想，其中，用放縮法證明不等式 是解題的難點．