Question

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C₁: =1 (a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂.F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF₂|=.

（1）求C₁的方程；

（2）平面上的點(diǎn)N滿足=+，直線l∥MN，且與C₁交于A、B兩點(diǎn)，若·=0，求直線l的方程.

Answer 1

（1）（2）直線l的方程為y=x-2,或y=x+2

解析:

(1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),

設(shè)M(x₁,y₁),M在C₂上,

因?yàn)閨MF₂|=,所以x₁+1=,

得x₁=,y₁=.所以M.

M在C₁上,且橢圓C₁的半焦距c=1,

于是

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.

解得a=2(a=不合題意,舍去).

故b²=4-1=3.

故橢圓C₁的方程為.

(2)由=+,知四邊形MF₁NF₂是平行四邊形,其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,

因?yàn)閘∥MN,所以l與OM的斜率相同.

故l的斜率k==.

設(shè)l的方程為y=(x-m).

由消去y并整理得

9x²-16mx+8m²-4=0.

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

則x₁+x₂=,x₁x₂=.

因?yàn)?img width=20 height=20 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/164/27164.gif">⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.

所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)

=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²

=7·-6m·+6m²=(14m²-28)=0.

所以m=±.此時(shí)Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.

故所求直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.