Question

已知|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

與

b

的夾角為45°，求使向量（2

a

+λ

b

）與（λ

a

-3

b

）的夾角是銳角的λ的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得

a

•

b

=

2

×1×cos45°=1，再根據(jù) 

2

λ

≠

λ

-3

，且（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）=2λ

a

2+（λ²-6）

a

•

b

-3λ

b

2＞0，求得λ的取值范圍．

解答：解：由題意可得，

a

•

b

=

2

×1×cos45°=1，
再由向量（2

a

+λ

b

）與（λ

a

-3

b

）的夾角是銳角，
可得（2

a

+λ

b

）與（λ

a

-3

b

）不共線且（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）＞0．
故有 

2

λ

≠

λ

-3

，且（2

a

+λ

b

）•（λ

a

-3

b

）=2λ

a

2+（λ²-6）

a

•

b

-3λ

b

2＞0，
即 4λ+λ²-6-3λ＞0，且λ²≠-6．
解得 λ＞2，或λ＜-3，
故λ的取值范圍為 {λ|λ＞2，或λ＜-3}．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．