Question

已知函數(shù)= （，
（1）當時，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)與的圖像有兩個不同的交點，求的取值范圍。
（3）設點和（是函數(shù)圖像上的兩點，平行于的切線以為切點，求證.

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見解析．

試題分析：
解題思路：（1）求導，利用導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構造函數(shù)，將圖像的交點個數(shù)轉化為函數(shù)的零點個數(shù)，通過函數(shù)的極值的正負求參數(shù)的值；（3）構造函數(shù)，利用放縮法合理轉化.
規(guī)律總結：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值及與函數(shù)有關的綜合題，都體現(xiàn)了導數(shù)的重要性；此類問題往往從求導入手，思路清晰；但綜合性較強，需學生有較高的邏輯思維和運算能力.
試題解析：(1)記，則的定義域為.
當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
由得，即，
令，；
當時，，則單調(diào)遞增，且；
當時，，則單調(diào)遞減，且，
所以在處取到最大值；
故要使與有兩個不同的交點，只需.
(3）由已知：，所以
由，故
同理
綜上所述得.