Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
（1）若a=4，b=3，過點P（6，3）的動直線l與雙曲線C相交于不同兩點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，求證點Q總在某定直線上．
（2）在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過雙曲線外一點P（m，n）的動直線l與雙曲線C相交于不同兩點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，則點Q在哪條定直線上？
（3）試將該結論推廣至其它圓錐曲線上，證明其中的一種情況，并猜想該直線具有的性質．

Answer 1

分析：（1）a=4，b=3，可得雙曲線的方程．欲證點Q總在某定直線上，所以先設點Q的坐標為變量（x，y），點A、B的坐標分別為參數（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根據已知條件可變形得

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，設其比值為λ則有

AP

=-λ

PB

、

AQ

=λ

QB

，此時利用定比分點定理可得A、B、P三點橫坐標關系及縱坐標關系，同時可得A、B、Q三點橫坐標關系及縱坐標關系，又因為點A、B的坐標滿足雙曲線方程，再利用已得關系式可整體替換，同時消去參數λ，最后得到變量x、y的關系式，則問題得證．
（2）類似于（1）可得結論：在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過雙曲線外一點P（m，n）的動直線l與雙曲線C相交與不同兩點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，得出點Q在那條定直線上；
（3）該結論推廣至其它橢圓上，有：在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過橢圓外一點P（m，n）的動直線l與橢圓C相交與不同兩點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，得出點Q在定直線b²mx+a²ny=a²b²上．

解答：解：（1）由題意得雙曲線C的方程為

x2

16

-

y2

9

=1．

設點Q、A、B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設知 |

AP

|，|

PB

|，|

AQ

|，|

QB

|均不為零，記 λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四點共線，從而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

于是 6=

x1-λx2

1-λ

，3=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

從而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=6x①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=3y②，
又點A、B在橢圓C上，即

x 12

16

-

y 12

9

=1 ③，

x 22

16

-

y 22

9

=1 ④，
①×9-②×16并結合③、④得9x-8y=24，
即點Q（x，y）總在定直線9x-8y=24上．
（2）類似于（1）可得結論：在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過雙曲線外一點P（m，n）的動直線l與雙曲線C相交與不同兩點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，
得出點Q在定直線b²mx-a²ny=a²b²上；
（3）該結論推廣至其它橢圓上，有：
在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過橢圓外一點P（m，n）的動直線l與橢圓C相交與不同兩點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，得出點Q在定直線b²mx+a²ny=a²b²上；
類似于（1）得：
于是 m=

x1-λx2

1-λ

，n=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

從而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=mx①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=ny②，
又點A、B在橢圓C上，即

x 12

a2

+

y 12

b2

=1③，

x 22

a2

+

y 22

b2

=1 ④，
①×b²+②×a²并結合③、④得b²mx+a²ny=a²b²，
即點Q（x，y）總在定直線b²mx+a²ny=a²b²上．

點評：本題綜合考查雙曲線性質與定比分點定理，同時考查構造消元處理方程組的能力．