Question

已知橢圓的中心為原點，長軸長為，一條準線的方程為.
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）射線與橢圓的交點為，過作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于 兩點（兩點異于）．求證：直線的斜率為定值．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓標準方程為：；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由題設可得，解這個方程組，便可得的值.再利用求出，便得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）首先求出點M的坐標（這是一個確定的點）.過M作兩條直線，這兩條直線是不定的，是動直線，就用點斜式把這兩條直線的方程表示出來，然后分別與橢圓方程聯立，可解出A、B兩點的坐標，然后用斜率公式求出直線的斜率．
試題解析：（Ⅰ）由準線為知焦點在軸上，則可設橢圓方程為：．
由得：，所以橢圓標準方程為：．
（Ⅱ）∵斜率k存在，不妨設k＞0，求出M（，2）．直線MA方程為，直線MB方程為．
分別與橢圓方程聯立，可解出，.
∴．  ∴（定值）．
考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與圓錐曲線.