Question

（2012•合肥一模）已知函數f（x）的導函數的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則一定成立的是（　　）

A．f（sinA）＞f（cosB）

B．f（sinA）＜f（cosB）

C．f（sinA）＞f（sinB）

D．f（cosA）＜f（cosB）

Answer 1

分析：根據導數的圖象，得到函數f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．再由正弦函數的單調性和銳角三角形的性質，得到sinA＞cosB，所以f（sinA）＞f（cosB），得到正確選項．

解答：解：根據導數的圖象，可知
當x＞0時，f'（x）＞0；當x＜0時，f'（x）＜0
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，在區間（-∞，0）上是減函數
∵△ABC為銳角三角形，
∴A、B都是銳角，且A+B＞

π

2

由此可得0＜

π

2

-B＜A＜

π

2

，
因為正弦函數在銳角范圍是增函數，所以對上式的兩邊取正弦得sin（

π

2

-B）＜sinA
∴sinA＞cosB，再結合f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，得f（sinA）＞f（cosB）
故選A

點評：本題以導數的符號判斷函數的單調性，并在銳角三角形比較兩個函數值的大小，著重考查了導數的性質和銳角三角形的性質等知識，屬于基礎題．