Question

已知點A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F₁，F₂是橢圓的兩焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求橢圓的標準方程；
（II）求過A（1，1）與橢圓相切的直線方程；
（III）設點C、D是橢圓上兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據橢圓的定義可知|AF₁|+|AF₂|=4=2a，然后將點A（1，1）代入橢圓方程即可求出a，b的值，從而確定橢圓的標準方程；（II）過點（x₀，y₀）與橢圓相切的切線方程為

x0 x

4

+

y0 y

4 3

=1，故可求；（III）先假設出直線AC的方程，然后聯立直線與橢圓消去y得到關于x的一元二次方程，進而表示出點C的橫坐標，再由AC、AD直線傾斜角互補可得到直線AD的方程，進而可得到D的橫坐標，然后將點C、D的橫坐標分表代入直線方程可得到其對應的縱坐標，即可得到答案．

解答：解：（I）由橢圓定義知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，∴b2=

4

3

，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

4 3

=1
（II）解：過A（1，1）點與橢圓相切的切線方程為：

x×1

4

+

y×1

4 3

=1
即：x+3y-4=0                           
（III）設AC方程為：y=k（x-1）+1與橢圓方程聯立，消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵點A（1，1）在橢圓上，方程有一個根為x_A=1，∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

                          
∵直線AC、AD傾斜角互補，∴AD的方程為y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

，又
y_C=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2K
∴kCD=

1

3

，即直線CD的斜率為定值

1

3

點評：本題主要考查橢圓的標準方程和直線與橢圓的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的重點問題，每年必考，且常以壓軸題的形式出現，一定要強化復習．