Question

已知常數a>0，n為正整數，fn（x）=xn-（x+a）n（x>0）是關于x的函數， （1）判定函數fn（x）的單調性，并證明你的結論； （2）對任意n≥a，證明fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。

Answer 1

解：（1）fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]， ∵a>0，x>0， ∴fn′（x）<0， ∴fn（x）在（0，+∞）單調遞減。 （2）由上知：當x>a>0時，fn（x）=xn-（x+a）n是關于x的減函數， ∴當n≥a時，有：（n+1）n-（n+1+a）n≤nn-（n+a）n， 又∵fn+1′（x）=（n+1）[xn-（x+a）n]， ∴fn+1′（n+1）=（n+1）[（n+1）n-（n+1+a）n]<（n+1）[nn-（n+a）n] =（n+1）[nn-（n+a）（n+a）n-1] （n+1）fn′（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[nn-n（n+a）n-1]， ∵（n+a）>n， ∴fn+1′（n+1）<（n+1）fn′（n）。