Question

在△ABC中，點B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
（1）求邊AC的直線方程；
（2）圓M：x²+（y+1）²=r²（1≤r≤3），自點C向圓M引切線CF，CG，切點為F、G．求：

CF

•

CG

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設AB中點坐標為D（x₀，y₀），∵點B（0，1），則A點坐標為（2x₀，2y₀-1），把D（x₀，y₀）代入直線CE方程，把A點坐標（2x₀，2y₀-1）代入角A的平分線方程，求出x₀，y₀
的值，可得A點坐標．再由B點關于2x-y-4=0的對稱點（4，-1）在直線AC上，由兩點式求直線AC的方程．
（2）把CE和AC的方程聯立方程組求出點C的坐標，利用兩個向量的數量積的定義求出

CG

•

CF

=

1

8

[(r2-12)2-16]，再由二次函數的性質求得

CF

•

CG

的最大值和最小值，
從而得到

CF

•

CG

的取值范圍．

解答：解：（1）設AB中點坐標為（x₀，y₀），∵點B（0，1），則A點坐標為（2x₀，2y₀-1）．
依題意得

x0-2y0-6=0 4x0-(2y0-1)-4=0

，解之得：

x0=-1 y0=- 7 2

，∴A（-2，-8），
由于B點關于2x-y-4=0的對稱點（4，-1）在直線AC上．∴直線AC的方程為

y+1

-8+1

=

x-4

-2-4

，即 7x-6y-34=0．
（2）由

7x-6y-34=0 x-2y-6=0

  解得

x=4 y=-1

，即C（4，-1），又 圓心M（0，-1），
∴

CG

•

CF

=|

CG

|•|

CF

|•cos∠FCG=（16-r²）cos2∠CFM=（16-r²）（1-2sin²∠GCM）=(16-r2)[1-2(

r

4

)2]=

1

8

[(r2-12)2-16]，
∵1≤r≤3，∴1≤r²≤9，由單調性得

CG

•

CF

|max=

1

8

×(121-16)=

105

8

，

CG

•

CF

|min=

1

8

×(9-16)=-

7

8

．
∴

CG

•

CF

的取值范圍為[-

7

8

，

105

8

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，用兩點式求直線方程，圓的切線性質，以及在閉區間上求二次函數的最值，屬于中檔題．