Question

已知函數y=lg（ax²+2ax+1）：
（1）若函數的定義域為R，求a的取值范圍；
（2）若函數的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于函數的定義域為R，可得ax²+2ax+1＞0恒成立．當a=0時，顯然成立，當a≠0時，應有a＞0且△=4a²-4a＜0，由此求得a的取值范圍．
（2）若函數的值域為R，則ax²+2ax+1能取遍所有的正整數，故有 a＞0且△=4a²-4a≥0，由此求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數的定義域為R，∴ax²+2ax+1＞0恒成立．當a=0時，顯然成立．
當a≠0時，應有a＞0且△=4a²-4a＜0，解得 a＜1．
故a的取值范圍為[0，1）．
（2）若函數的值域為R，則ax²+2ax+1能取遍所有的正整數，∴a＞0且△=4a²-4a≥0．
解得 a≥1，故a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查對數函數的定義域和值域，二次函數的性質應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．