Question

如圖，三棱錐中，底面，，，點、分別是、的中點.

（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

(Ⅰ)  略  (Ⅱ)   

解析:

：方法（一）

 (Ⅰ)由已知可得為等腰直角三角形，則．

由平面，平面，則．

又，，

則平面，由平面，得．

由中位線定理得，，于是，

又，所以平面．         

(Ⅱ)已證明平面，又平面，則．

已證明，又，則平面．

因為平面，平面，所以，．

由二面角的定義，得為二面角的平面角．

設(shè)，可求得，，

在中，可求得，在中，可求得，

在中，由余弦定理得，．則為所求．

方法（二）

如圖建立空間直角坐標系，設(shè)，

可求出以下各點的坐標：

A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

P（0，0，2），E（1，0，1），F(xiàn)（1，1，1）

 (Ⅰ)，，

有，，

于是，，又，

則平面．       

(Ⅱ)，有，，

于是，，由二面角定義，向量與的夾角為所求．

，所以為所求．