Question

如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱。污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出。設箱體的長度為a米，高度為b米。已知流出的水中該雜質的質量分數與a,b的乘積ab成反比。現有制箱材料60平方米。問當a,b各為多少米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小（A、B孔的面積忽略不計）。

Answer 1

解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數，則y=k/ab，其中k>0為比例系數，依題意，即所求的a,b值使y值最小。 根據題設，有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，

得 b=30-a/2+a (0<a<30)， ①

于是 y=k/ab=k/((30a-a2)/(2+a))

=k/(-a+32-64/(a+2))

=k/(34-(a+2+64/(a+2))

當a+2=64/(a+2)時取等號，y達最小值。

這時a=6,a=-10（舍去）。 將a=6代入①式

得b=3。 故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。

解法二：依題意，即所求的a,b的值使ab最大。

由題設知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0)，

即 a+2b+ab=30 (a>0,b>0)。 ∵a+2b≥2，

∴2+ab≤30， 當且僅當a=2b時，上式取等號。 由a>0，b>0，解得0<ab≤18。

即當a=2b時，ab取得最大值，其最大值為18。

∴2b₂=18。解得b=3，a=6。 故當a為6米，b為3米時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數最小。 ……12分