Question

已知函數f（x）=3x²+bx+1是偶函數，g（x）=5x+c是奇函數，正數數列{a_n}滿足a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：先根據函數f（x）=3x²+bx+1是偶函數，g（x）=5x+c是奇函數，判斷b=0，c=0進而可得函數f（x）和g（x）的解析式，進而根據f（a_n+a_n+1）-g（a_na_n+1+a_n²）=1求得

an+1

an

=

2

3

進而判斷出數列{a_n}是以1為首項，

2

3

為公比的等比數列，則數列的通項公式可得，進而根據等比數列的求和公式求得S_n．

解答：解：∵函數f（x）=3x²+bx+1是偶函數，g（x）=5x+c是奇函數，
∴b=0，c=0
∴f（x）=3x²+1 g（x）=5x
∵f（a_n+a_n+1）-g（a_na_n+1+a_n²）=1
∴整理得（3a_n+1-2a_n）（a_n+a_n）=0
∵正數數列
∴3a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=

2

3

∴數列{a_n}是以1為首項，

2

3

為公比的等比數列
∴通項公式a_n=（

2

3

）^n-1
∴S_n=3[1-（

2

3

）ⁿ]

點評：本題主要考查了用數列的遞推式求得數列的通項公式和求和問題．解題的關鍵是通過函數解析式找到a_n+1和a_n的關系．