Question

設數列{a_n}的各項都為正數，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中項
（Ⅰ）證明：數列為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數n，不等式2Sn-4200＞

a 2n

2

恒成立，試問：這樣的正整數m共有多少個．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由已知，4Sn=

a

2n

+2an，且a_n＞0． …（1分）
當n=1時，4a1=

a

21

+2a1，解得a₁=2．    …（2分）
當n≥2時，有4Sn-1=

a

2n-1

+2an-1．
于是4Sn-4Sn-1=

a

2n

-

a

2n-1

+2an-2an-1，即4an=

a

2n

-

a

2n-1

+2an-2an-1．
于是

a

2n

-

a

2n-1

=2an+2an-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
因為a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故數列{a_n}是首項為2，公差為2的等差數列，且a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為a_n=2n，則

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（5分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．…（7分）
因為1-

1

n+1

隨著n的增大而增大，所以當n=1時取最小值

1

2

．
故原不等式成立．                                           …（10分）
（Ⅲ）由2Sn-4200＞

a 2n

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．  …（12分）
由題設，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因為m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均滿足條件，且這些數組成首項為2100，公差為2的等差數列．
設這個等差數列共有k項，則2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數m共有450個．                  …（16分）