Question

已知p和q是兩個不相等的正整數，且q≥2，則

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=（　　）

• A、0
• B、1
• C、

  p

  q

• D、

  p-1

  q-1

Answer 1

分析：本題考查數列的極限和運算法則，可用特殊值探索結論，即同時考查學生思維的靈活性．當不能直接運用極限運算法則時，首先化簡變形，后用法則即可．本題也體現了等比數列求和公式的逆用．

解答：解析：法一特殊值法，由題意取p=1，q=2，
則

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n

1 n2 + 2 n

=

lim

n→∞

n

1+2n

=

1

2

=

p

q

，可見應選C
法二∵1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)m-1=

1-(1+x)m

1-(1+x)

∴（1+x）^m-1=x[1+（1+x）+（1+x）²+（1+x）^m-1]
令x=

1

n

，m分別取p和q，則原式化為

lim

n→∞

(1+ 1 n )p-1

(1+ 1 n )q-1

=

lim

n→∞

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )p-1]

1 n [1+(1+ 1 n )+(1+ 1 n )2+(1+ 1 n )q-1]

∵

lim

n→∞

(1+

1

n

)=1，

lim

n→∞

(1+

1

n

)2=1，…，

lim

n→∞

(1+

1

n

)p-1=1，
所以原式=

1+1+…+1

1+1+…+1

=

p

q

（分子、分母1的個數分別為p個、q個）
故選C．

點評：注意到本題的易錯點：取特值時忽略p和q是兩個不相等的正整數的條件，誤選B；或不知變形而無法求解，或者認為是

0

0

型而誤選B，看錯項數而錯選D．