Question

等比數列{a_n}的各項均為正數，且2a₁+3a₂=1，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，記數列的前n項和為T_n．若對于?n∈N^*，恒有成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，依題意，列出關于首項a₁與公比q的方程組，解之即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）按照比數列{a_n}的前n項和公式求之即可；
（3）求得數列{}的前n項和為T_n，對于?n∈N^*，恒有成立，其中m∈N^*，即可求得m的最小值．
解答：解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，則，解得a₁=，q=，
∴a_n=；
（2）∴數列{a_n}的前n項和S_n==（1-）；
（3）∵b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-，
∴=-=-2（-），
∴T_n=-2[（1-）+（-）+…+（-）]
=-2（1-）=-．
∵T_n＞恒成立，
即-＞恒成立，又m∈N^*，
∴m＞2011-恒成立，
∴m_min=2011．
點評：本題考查數列的求和，考查等比數列的通項公式與求和公式的綜合應用，屬于中檔題．