Question

（2012•普陀區一模）已知數列{a_n}是首項為2的等比數列，且滿足an+1=pan+2n(n∈N*)
（1）求常數p的值和數列{a_n}的通項公式；
（2）若抽去數列中的第一項、第四項、第七項、…第3n-2項，…，余下的項按原來的順序組成一個新的數列{b_n}，試寫出數列
{b_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，設數列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在正整數n，使得

Tn+1

Tn

=

11

3

？若存在，試求所有滿足條件的正整數n的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，求得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，由存在常數p，使得數列a_n為等比數列，求出（2p+2）²=2（2p²+2p=4），由此能求出常數p的值和數列{a_n}的通項公式．
（2）由等比數列的性質得：（i）當n=2k（k∈N^*）時，bn=a3k=23k；（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，b_n=a_3k-1=2^3k-1，由此能求出數列{b_n}的通項公式；
（3）由{b_2n-1}是首項為b₁=4，公式q=8的等比數列，知{b_2n}是首項b₂=8，公比q=8的等比數列，由此能求出Tn=

5•8 n+1 2 -12 7 ，n=2k-1 12•8 n 2 -12 7 ，n=2k

．假設存在正整數n滿足條件，則

Tn+1

Tn

=

Tn+bn+1

Tn

=1+

bn+1

Tn

=

11

3

，即

bn+1

Tn

=

8

3

．由此能夠推導出當且僅當n=2時，

Tn+1

Tn

=

11

3

．

解答：解：（1）由a1=2，an-1=pan+2n，
得a2=2p+2，a3=2p2+2p+4，
∵存在常數p，使得數列a_n為等比數列，
∴a 22=a₁a₃，即（2p+2）²=2（2p²+2p=4），
∴p=1．
故數列{a_n}為首項是非，公比為2的等比數列，即an=2n，
此時，an+1=2n+2n=2n+1也滿足，
則所求常數p的值為1，且an=2n（n∈N^*）．
（2）由等比數列的性質得：
（i）當n=2k（k∈N^*）時，bn=a3k=23k；
（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，b_n=a_3k-1=2^3k-1，
∴bn=

2 3n+1 2 ，n=2k-1 2 3n 2 ，n=2k

，(k∈N*)．
（3）∵{b_2n-1}是首項為b₁=4，公式q=8的等比數列，
{b_2n}是首項b₂=8，公比q=8的等比數列，則
（i）當n=2k（k∈N^*）時，
T_n=T_2k=（b₁+b₃+…+b_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=

4(8k-1)

8-1

+

8(8k-1)

8-1

=

12•8k-12

7

=

12•8 n 2 -12

7

．
（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，
T_n=T_2k-1=T_2k-b_2k=

12•8k-12

7

-8k
=

5•8k-12

7

=

5•8 n+1 2 -12

7

．
即Tn=

5•8 n+1 2 -12 7 ，n=2k-1 12•8 n 2 -12 7 ，n=2k

．
假設存在正整數n滿足條件，則

Tn+1

Tn

=

Tn+bn+1

Tn

=1+

bn+1

Tn

=

11

3

，
∴

bn+1

Tn

=

8

3

．
則（i）當n=2k（k∈N^*）時，

bn+1

Tn

=

b2k+1

T2k

=

23k+2

12•8k-12 7

=

8

3

，
解得8^k=8，k=1．
即當n=2時，滿足條件．
（ii）當n=2k-1（k∈N^*）時，

bn+1

Tn

=

b2k

Tn

=

8k

5•8k-12 7

=

7•8k

5•8k-12

=

8

3

，
解得8^k=

96

19

，
∵k∈N^*，∴此時無滿足條件的正整數n．
綜上所述，當且僅當n=2時，

Tn+1

Tn

=

11

3

．

點評：本題考查數列通項公式的求法，考查正整數是否存在的探究．考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．