Question

（“選修4-2矩陣與變換”）
已知y=f（x）的圖象（如圖1）經A=

.

a b c d

.

作用后變換為曲線C（如圖2）．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求矩陣A的特征值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于y=f（x）的圖象上的點（π，0）變換后為（

π

2

，0），點（

π

2

，1）變換后為（

π

4

，1），根據矩陣變換特點，寫出兩對坐標之間的關系，解出方程，即可得到矩陣．
（Ⅱ）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值．

解答：解：（Ⅰ） 由于y=f（x）的圖象上的點（π，0）經A=

.

a b c d

.

作用后變換為（

π

2

，0），
∴

a b c d

π   0

=

π 2   0

  解得 a=

1

2

，c=0，
由于y=f（x）的圖象上的點（

π

2

，1）經A=

.

a b c d

.

作用后變換為為（

π

4

，1），
∴

1 2 b 0 d

π 2   1

=

π 4   1

  解得 b=0，d=1，
∴A=

1 2 0 0 1

；
（Ⅱ）由題意得

.

λ- 1 2 0 0 λ-1

.

=0
∴（λ-

1

2

）（λ-1）=0，
解得λ=

1

2

或λ=1
∴矩陣A的特征值是

1

2

與1．

點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算，屬于基礎題．