Question

已知數列的前項和滿足.

（1）寫出數列的前三項；

（2）求數列的通項公式；

（3）證明：對任意的整數，有.

 

Answer 1

【答案】

（１）　由由

由

（２）

（３）見解析.

【解析】.

（1）因為數列的前項和滿足，那么對于n令值，邊可以寫出數列的前三項；

（2）根據前幾項歸納猜想數列的通項公式；再用數學歸納法加以證明。或者里利用迭代思想，得到通項公式。

（3）利用放縮法得到求和，并證明不等式。

（１）為了計算前三項的值，只要在遞推式中，對取特殊值，就可以消除解題目標與題設條件之間的差異．

　由

由

由

（２）為了求出通項公式，應先消除條件式中的．事實上

當時，有

 

即有　

從而　

　　　

  …… 

接下來，逐步迭代就有

        

經驗證a₁也滿足上式，故知

其實，將關系式和課本習題作聯系，容易想到：這種差異的消除，只要對的兩邊同除以，便得

　　　　　　　　　．

令就有

，

于是         ，

這說明數列是等比數列，公比　首項，從而，得

　　　　　，

即　　　　，

   故有

（３）由通項公式得

當且n為奇數時， 

                                

當為偶數時，

當為奇數時，為偶數，可以轉化為上面的情景

故任意整數m>4，有