Question

已知=(22,0),O為坐標原點,點M滿足|+|+|-|=6.

(1)求點M的軌跡C的方程;

(2)是否存在直線l過點P(0,2),與軌跡C交于A、B兩點,且以AB為直徑的圓過原點?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：(1)設M(x,y),則=(x,y),

由題意,得|(x,y)+(2,0)|+|(x,y)-(2,0)|=6

∴|(x+2,y)|+|(x-2,y)|=6.

∴+=6.

化簡得+y²=1(亦可據上式由定義得到此方程).

(2)當l斜率不存在時,顯然不符合題意.

∴設l:y=kx+2,A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

(1+9k²)x²+36kx+27=0x₁+x₂=-,x₁x₂=.

∵以AB為直徑的圓過原點,

∴⊥.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+2)·(kx₂+2)=(k²+1)x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4=-+4

=+4=0.

∴k=±,

∴l:y=±x+2.