Question

已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
(1)求函數f(x)的單調區間；
(2)當a>0時，求函數f(x)在[1，2]上的最小值．

Answer 1

（1）單調增區間是，單調減區間是（2）當0<a<ln2時，最小值是－a；當a≥ln2時，最小值是ln2－2a.

①知函數解析式求單調區間，實質是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區間，并注意定義域；
②先研究f(x)在[1，2]上的單調性，再確定最值是端點值還是極值；
③由于解析式中含有參數a，要對參數a進行分類討論．
規范解答：解：(1)f′(x)＝－a(x>0)．(1分)
①當a≤0時，f′(x)＝－a≥0，即函數f(x)的單調增區間是(0，＋∞)．(3分)
②當a>0時，令f′(x)＝－a＝0，得x＝，當0<x< 時，f′(x)＝>0，當x> 時，f′(x)＝<0，所以函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.(6分)
(2)①當≤1，即a≥1時，函數f(x)在區間[1，2]上是減函數，
所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)
②當≥2，即0<a≤時，函數f(x)在區間[1，2]上是增函數，
所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)
③當1< <2，即<a<1時，函數f(x)在區間上是增函數，在區間上是減函數，
又f(2)－f(1)＝ln2－a，
所以當<a<ln2時，最小值是f(1)＝－a；
當ln2≤a<1時，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分)
綜上可知，當0<a<ln2時，最小值是－a；
當a≥ln2時，最小值是ln2－2a.(14分)