Question

設A，B分別是直線y＝x和y＝－x上的動點，且|AB|＝，設O為坐標原點，動點P滿足＝＋.

(1)求點P的軌跡方程；

(2)過點(，0)作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1，l2與點P的軌跡的相交弦分別為CD，EF，設CD，EF的弦中點分別為M，N，求證：直線MN恒過一個定點．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）見解析

【解析】(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，

∵＝＋，∴x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，

∵y1＝x1，y2＝－x2，?

∴x＝x1＋x2＝ (y1－y2)，y＝y1＋y2＝ (x1－x2)．

∵|AB|＝＝，∴x2＋2y2＝2，

∴點P的軌跡方程為＋y2＝1.

(2)證明：設C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l1的方程為x－＝ky.

由，得(k2＋4)y2＋2ky－1＝0，

∴y1＋y2＝－，x1＋x2＝.∴M點坐標為，

同理可得N點坐標為.

∴直線MN的斜率kMN＝.

∴直線MN的方程為y＋＝.

整理化簡得4k4y＋(4－5x)k3＋12k2y－16y＋(－20x＋16)k＝0，

∴x＝，y＝0，∴直線MN恒過定點