Question

設x₁，x₂∈R，常數a＞0，定義運算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²．
（1）若x≥0，求動點P(x，

x*a

)的軌跡C的方程；
（2）若a=2，不過原點的直線l與x軸、y軸的交點分別為T，S，并且與（1）中的軌跡C交于不同的兩點P，Q，試求

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x₁，y₁），欲求出動點P的軌跡方程，只須求出x，y的關系式即可，結合新定義運算．動點 P(x，

x*a

)的軌跡C的方程即 y=

x*a

，代入定義的運算，即可得軌跡C的方程
（2）由題意得y²=8x（y≥0），設直線l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0，將S，T，P，Q的坐標代入

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

可知只需求x_p+x_q，x_p•x_q，將直線與曲線聯立后即可得x_p+x_q，x_p•x_q，代入即得

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

與m的函數關系，求范圍即可

解答：解：（1）設y=

x*a

=

(x+a)2-(x-a)2

=

4ax

∴動點P的軌跡C的方程為：y²=4ax（y≥0）…6
（2）由題意得y²=8x（y≥0），設直線l：x=my+c，由已知m＞0，c＜0
則T（c，0）．S，T，P，Q都在直線l上，
∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=

|0-c|

|xP-0|

+

|0-c|

|xQ-0|

=|c|(

1

|xP|

+

1

|xQ|

)，
由題得c＜0，x_P＞0，x_Q＞0
∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=-c(

1

xP

+

1

xQ

)=

-c(xP+xQ)

xPxQ

由

y2=8x x=my+c

消去y得x²-（2c+8m²）x+c²=0
∴

△=32m2(2m2+c)＞0 xP+xQ=2c+8m2＞0 xPxQ=c2＞0

∵c＜0，∴m2＞-

1

2

c∴

m2

c

＜-

1

2

∴

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

=2-

8m2

c

＞2
即

| ST |

| SP |

+

| ST |

| SQ |

的取值范圍是（2，+∞）…（14分）

點評：本題的考點是軌跡方程，主要考查軌跡方程，利用新定義，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程，考查了直線與曲線的位置關系，一元二次方程根的分布等知識，屬于中檔題