Question

（本小題滿分14分）

已知函數為常數，數列滿足：，，．

（1）當時，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，證明對有：；

（3）若，且對，有，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）可以用裂項法求和進而證明也可以用數學歸納法證明

（3）可以用基本不等式證明也可以用導數證明，還可以利用數列的單調性證明

【解析】

試題分析：（1）當時，，

兩邊取倒數，得，                                           ……2分

故數列是以為首項，為公差的等差數列，

，，．                                      ……4分

（2）證法1：由（1）知，故對

         ……6分

所以 

．                            ……9分

[證法2：①當n=1時，等式左邊，等式右邊，左邊=右邊，等式成立；                                                  ……5分

②假設當時等式成立，

即，

則當時

這就是說當時，等式成立，                                       ……8分

綜①②知對于有：

．                      ……9分】

（3）當時，

則，                              ……10分

∵，

∴                      ……11分

．                          ……13分

∵與不能同時成立，∴上式“=”不成立，

即對，．                                    ……14分

【證法二：當時，，

則                                       ……10分

又

                                         ……11分

令則                      ……12分

當所以函數在單調遞減，故當所以命題得證                   ……14分】

【證法三：當時，，            ……11分

 

數列單調遞減，

，

所以命題得證                                                        ……14分】

考點：本小題主要考查數列的通項公式、前n項和以及與數列有關的不等式的證明.

點評：本小題比較綜合，既考查了數列的通項公式的求解，也考查了數列的前n項的求解，還考查了數列的性質的應用以及基本不等式、導數等的綜合應用，難度較大，要求學生具有較高的分析問題、轉化問題、解決問題的能力和運算求解能力.