Question

已知函數,，其中R.
（1）討論的單調性；
（2）若在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；
（3）設函數,當時，若，，總有成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）在上單調遞減，在上單調遞增;（2）;（3）.

試題分析：（1）先對求導，由于的正負與參數有關，故要對分類討論來研究單調性; （2）先由在其定義域內為增函數轉化為在不等式中求參數范圍的問題，利用分離參數法和基本不等式的知識求出參數的取值范圍;（3）先通過導數研究在的最值，然后根據命題“若，，總有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，從而列出不等式組求出參數的取值范圍.
試題解析：解：（1）的定義域為，且，       1分
①當時，，在上單調遞增；       2分
②當時，由，得；由，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增.    4分
（2），的定義域為
              5分
因為在其定義域內為增函數，所以，

而，當且僅當時取等號，所以           8分
（3）當時，，
由得或
當時，；當時，.
所以在上，       10分
而“，，總有成立”等價于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值為
所以有                  12分

所以實數的取值范圍是        14分