Question

已知方向向量為的直線過橢圓C：＝1(a＞b＞0)的焦點以及點(0，)，橢圓C的中心關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上。

⑴求橢圓C的方程。

⑵過點E(-2，0）的直線交橢圓C于點M、N，且滿足，(O為坐標原點)，求直線的方程。

Answer 1

（1）橢圓C的方程為

（2）直線的方程為  

解析:

⑴直線①，過原點垂直于的直線方程為②

解①②得，∵橢圓中心O(0，0)關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，

∴， …………………（2分）

∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為(2，0)，∴，

故橢圓C的方程為  ③…………………（4分）

⑵當直線的斜率存在時，設 ，代入③并整理得

，設，

則……………（5分）

∴，……（7分）

 點到直線的距離.

 ∵，即，

 又由  得  ，

∴，…………………………（9分）

而，∴，即，

 解得，此時  …………………………………（11分）

當直線的斜率不存在時，，也有，

經檢驗，上述直線均滿足，

故直線的方程為