Question

設圖中的正方體的棱長為a（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA₁成異面直線？（2）求直線BA₁和CC₁所成的角的大小．（3）求異面直線BC和AA₁的距離．

Answer 1

解：（1）根據異面直線的定義進行判定，可得
與直線BA₁成異面直線有D₁C₁、D₁D、C₁C、C₁B₁、DC、AD一共六條
（2）∵BB₁∥CC₁
∴∠B₁BA₁為直線BA₁和CC₁所成的角，
∵四邊形AA₁B₁B是正方形
∴△B₁BA₁為等腰直角三角形
∴∠B₁BA₁=45°，即直線BA₁和CC₁所成的角為45°
（3）∵AB⊥AA₁，且AB⊥BC
∴線段AB是異面直線AA₁與BC的公垂線段，
∵正方體的棱長為a
∴異面直線BC和AA₁的距離等于a．
分析：（1）異面直線的定義：不同在任一平面內的兩直線稱為異面直線．根據這一定義找出與A₁B既不相交也不平行的直線，即可找到所有的與A₁B異面的直線；
（2）因為BB₁與CC₁平行，所以將CC₁平移到BB₁，從而∠B₁BA₁為直線BA₁和CC₁所成的角，在三角形A₁BB₁中易求；
（3）因為AB與AA₁垂直，并且AB與BC垂直，所以線段AB是異面直線AA₁與BC的公垂線段，所以異面直線BC和AA₁的距離就是正方體的棱長．
點評：本題是一道立體幾何綜合題，著重考查了異面直線的判定、異面直線及其所成的角的求法和空間點、線、面間的距離計算，屬于基礎題．