Question

（2008•奉賢區二模）已知等比數列{a_n}的公比為q，S_n是{a_n}的前n項和．
（1）若a₁=1，q＞1，求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）若a₁=1；對①q=

1

2

和②q=-

1

2

時，分別研究S_n的最值，并說明理由；
（3）若首項a₁=10，設q=

1

t

，t是正整數，t滿足不等式|t-63|＜62，且對于任意正整數n有9＜S_n＜12成立，問：這樣的數列{a_n}有幾個？

Answer 1

分析：（1）利用等比數列的求和公式，進而可求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）當q=

1

2

時，Sn=2-(

1

2

)n-1，所以S_n隨n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，此時S_n有最小值為1，但無最大值當q=-

1

2

時，Sn=

2

3

[1-(-

1

2

)n]，分n是偶數，奇數討論求最大值與最小值
 （3）根據t滿足不等式|t-63|＜62，可確定q的范圍，進而可得S_n隨著n的增大而增大，利用9＜S_n＜12，可求解．

解答：解：（1）Sn=

(1-qn)

1-q

，則

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

qn-1

(1-qn) 1-q

=

lim

n→∞

1 q •qn-qn

1-qn

=

lim

n→∞

1 q -1

( 1 q )n-1

=

q-1

q

----（5分）
（2）當q=

1

2

時，Sn=2-(

1

2

)n-1，所以S_n隨n的增大而增大，而S₁≤S_n＜2，
此時S_n有最小值為1，但無最大值．-------------------------------（3分）
（只給出答案而不能夠說明理由的，得1分）
當q=-

1

2

時，Sn=

2

3

[1-(-

1

2

)n]
若n=2k，k∈N^*時，Sn=

2

3

[1-(

1

4

)k]，所以S_n隨k的增大而增大，
即n是偶數時，S2≤Sn＜

2

3

，即

1

2

≤Sn＜

2

3

若n=2k-1，k∈N^*時，Sn=

2

3

[1+2(

1

4

)k]，所以S_n隨k的增大而減小，
即n是奇數時，

2

3

＜Sn≤S1，即

2

3

＜Sn≤1
所以

1

2

≤Sn≤1，S_n有最大值為1，最小值為

1

2

．---（4分）
（只給出答案而不能夠說明理由的，得1分）
（3）|t-63|＜62⇒-62＜t-63＜62⇒1＜t＜125⇒q=

1

t

∈(0，1)．
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

10[1-( 1 t )n]

1- 1 t

且S_n隨著n的增大而增大

lim

n→∞

Sn≤12⇒

10

1- 1 t

≤12-----------------------（3分）⇒

5

6

≤1-

1

t

⇒

1

t

≤

1

6

⇒t≥6⇒t∈[6，125)-----------------------------（2分）
t∈N^*⇒124-6+1=119個．----------------------------------------（1分）

點評：本題以等比數列為載體，考查數列的極限，考查等比數列的求和，考查數列的單調性，屬于中檔題．