Question

給出下列命題
①存在x∈(0，

π

2

)，使sinx+cosx=

1

3

；
②存在區間（a，b），使y=cosx為減函數而sinx＜0；
③y=tanx在其定義域內為增函數；
④y=cos2x+sin(

π

2

-x)既有最大值和最小值，又是偶函數；
⑤y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期為π．
其中錯誤的命題為

①②③⑤

（把所有符合要求的命題序號都填上）

Answer 1

分析：①由已知可得sinxcosx=-

4

9

＜0，則當x∈(0，

1

2

π)不符合題意；②結合正弦函數與余弦函數的圖象可知，不存在區間使y=cosx為減函數而sinx＜0；③y=tanx在區間（-

1

2

π+kπ，

1

2

π+kπ），（k∈Z）上單調遞增，但是在定義域內不是增函數；④y=cos2x+sin(

π

2

-x)=cos²x+cosx=(cosx+

1

2

)2-

1

4

，可判斷函數的最值的情況，及函數的奇偶性⑤結合函數的圖象可知，y=sin|2x+

π

6

|的最小正周期為

1

2

π．

解答：解：①若sinx+cosx=

1

3

，則有1+2sinxcosx=

1

9

，即sinxcosx=-

4

9

＜0，則當x∈(0，

1

2

π)不符合題意，故①錯誤
②結合正弦函數與余弦函數的圖象可知，不存在區間使y=cosx為減函數而sinx＜0；故②錯誤
③y=tanx在（-

1

2

π+kπ，

1

2

π+kπ），k∈Z上單調遞增，但是在定義域內不是增函數；故③錯誤
④y=cos2x+sin(

π

2

-x)=cos²x+cosx=(cosx+

1

2

)2-

1

4

，當cosx=-

1

2

時，函數有最小值，當cosx=1時，函數有最大值，從而可知函數既有最大值和最小值，又f（-x）=cos²（-x）+cos（-x）=cos²x+cosx=f（x），可得函數是偶函數；故④正確
⑤結合函數的圖象可知，y=sin|2x+

π

6

|不是周期函數．故⑤錯誤
故答案為：①②③⑤

點評：本題主要考查了函數的性質的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌握函數的基本性質、常見的結論，并能靈活應用