Question

（本題滿分16分）

如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的焦點F₁，F₂和短軸的一個端點A構成等邊三角形，

點(，)在橢圓C上，直線l為橢圓C的左準線．

（1） 求橢圓C的方程；

（2） 點P是橢圓C上的動點，PQ ⊥l，垂足為Q．

是否存在點P，使得△F₁PQ為等腰三角形？

若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1） ＋ ＝1．（2）存在點P(－，±)，使△PF₁Q為等腰三角形

【解析】本題主要考查了橢圓的標準方程．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力

（Ⅰ）設出橢圓方程，根據△AF₁F₂為正三角形可推斷出a和b的關系，設b²=3λ，a²=4λ，代入橢圓方程，進而把點(，)代入即可求得λ，則橢圓的方程可得．

（Ⅱ）根據（1）可求得橢圓的離心率，進而求得PF₁和PQ的關系，假設PF₁=F₁Q根據PF₁= PQ推斷出PF₁+F₁Q=PQ，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，假設不成立，再看若F₁Q=PQ，設出P點坐標，則Q點坐標可得，進而表示出F₁Q和PQ求得x和y的關系，與橢圓方程聯立求得P點坐標．判斷出存在點P，使得△PF₁Q為等腰三角形。

（1）橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF₁F₂為正三角形，所以

      sin∠AF₁O＝＝，所以＝，＝．

      設b²＝3λ，a²＝4λ，橢圓方程為＋＝λ．

橢圓經過點(，)，解得λ＝1，所以橢圓C的方程為 ＋ ＝1．

（2）由＝e＝，得PF₁＝PQ．所以PF₁≠PQ．

①若PF₁＝F₁Q，則PF₁＋F₁Q＝PQ，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，

所以PF₁不可能與PQ相等

②若F₁Q＝PQ，設P(x，y)(x≠±2)，則Q(－4，y)．∴＝4＋x，

∴9＋y²＝16＋8x＋x²，又由＋＝1，得y²＝3－x²．

∴9＋3－x²＝16＋8x＋x²，∴x²＋8x＋4＝0．

∴7x²＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4．

因為x∈(－2，2)，所以x＝－．所以P(－，±)．

存在點P(－，±)，使△PF₁Q為等腰三角形