Question

設(shè)函數(shù)g(x)=

x

1+x2

(x＞0)，f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，區(qū)間I={x|f（x）＞0}
（1）證明：函數(shù)g（x）在（0，1]單調(diào)遞增；
（2）求I的長度（注：區(qū)間（α，β）的長度定義為β-α）；
（3）給定常數(shù)k∈（0，1），當(dāng)1-k≤a≤1+k時，求I長度的最小值．

Answer 1

分析：（1）用單調(diào)性定義證明函數(shù)g（x）在（0，1]的單調(diào)性；
（2）求出f（x）＞0的解集，即得區(qū)間I長度；
（3）由g（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，求出區(qū)間I的表達式g（a）在[1-k，1+k]上的最小值即可．

解答：解：（1）證明：∵函數(shù)g(x)=

x

1+x2

(x＞0)，
任取x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂；
∴g(x1)-g(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0；
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，即g（x₁）＜g（x₂），
∴函數(shù)g（x）在（0，1]單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）=ax-（1+a²）x²，其中a＞0，
且區(qū)間I={x|f（x）＞0}，
∴f（x）=x[a-（1+a²）x]＞0，
∴x∈(0，

a

1+a2

)，即區(qū)間I長度為

a

1+a2

．
（3）由（1）知，g(x1)-g(x2)=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

，
當(dāng)1≤x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＜0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）；
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
由（2）知，I=g（a）=

a

1+a2

，又∵k∈（0，1），0＜1-k＜1，1＜1+k＜2，
∴函數(shù)g（a）在[1-k，1]上單調(diào)遞增，g（a）在[1，1+k]上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)1-k≤a≤1+k時，I長度的最小值必在a=1-k或a=1+k處取得，
而

g(1-k)

g(1+k)

=

1-k 1+(1-k)2

1+k 1+(1+k)2

=

2-k2-k3

2-k2+k3

＜1，又g（1+k）＞0，
∴g（1-k）＜g（1+k）；
∴當(dāng)a=1-k時，I取最小值g（1-k）=

1-k

2-2k+k2

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用問題，是綜合性題目．