Question

在直角坐標系中，動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是，設動點的軌跡為，是動圓上一點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設曲線上的三點與點的距離成等差數(shù)列，若線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率；

（3）若直線與和動圓均只有一個公共點，求、兩點的距離的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】本試題主要考查了軌跡方程的求解和橢圓的定義，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

解：（1）由已知，得，…………………………1分.

將兩邊平方，并化簡得，      …………………………3分.

故軌跡C₁的方程是。               ………………4分.

（2）由已知可得，，，

因為2|BF|=|AF|=|CF|，所以

即得，   ①                           …………………………5分.

故線段AC的中點為，其垂直平分線方程為， ②

    …………………………6分.

因為A,C在橢圓上，故有，，兩式相減，

得：    ③

將①代入③，化簡得，    ④ ………………………7分.

將④代入②，并令y=0得，x=1/2，即T的坐標為(1/2,0)�！�……………………8分.

所以.                             ………………………9分.

設、，直線的方程為

因為P既在橢圓C₁上又在直線上，從而有

將（1）代入（2）得         ………10分.

由于直線PQ與橢圓C₁相切，故

從而可得，             （3）

同理，由Q既在圓上又在直線上，可得

，                  （4）……………………12分

由（3）、（4）得，

所以 ……………………13分.

即，當且僅當時取等號，

故P,Q、兩點的距離的最大值. …………………………14分.