Question

設函數其中

（１）若=0，求的單調區間；

（2）設表示與兩個數中的最大值，求證：當0≤x≤1時，||≤．

 

Answer 1

【答案】

（1），函數f(x)的單調增區間是(-∞，)及(1，+∞) ．單調減區間是

（2）根據導數判定單調性，進而得到最值，然后來證明結論。

【解析】

試題分析：解：(1)由=0，得a=b．

當時，則，不具備單調性   ..2分

故f(x)= ax³－2ax²+ax+c．

由=a(3x²－4x+1)=0，得x₁=，x₂=1．  3分

列表：

x	(-∞，)		(，1)	1	(1，+∞)
	+	0	-	0	+
f(x)	增	極大值	減	極小值	增

由表可得，函數f(x)的單調增區間是(-∞，)及(1，+∞) ．單調減區間是…5分

（2）當時，=

若　，

若，或，在是單調函數，≤≤，或

≤≤   7分

所以，≤

當時，=3ax²-2(a+b)x+b=3．

①當時，則在上是單調函數，

所以≤≤，或≤≤，且+=a>0．

所以．    9分

②當，即-a＜b＜2a，則≤≤．

(i) 當-a＜b≤時，則0＜a+b≤．

所以 ＝＝≥＞0．

所以 ．    11分

(ii) 當＜b＜2a時，則＜0，即a²+b²－＜0．

所以=＞＞0，即＞．

所以 ．    13分

綜上所述：當0≤x≤1時，||≤．   14分

考點：導數的運用

點評：主要是對于導數再研究函數中的運用，通過判定單調性，極值來得到最值，進而求解，屬于中檔題。