Question

設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實(shí)常數(shù)），f（0）=1，．
（Ⅰ）若f（-2）=0，且對任意實(shí)數(shù)x均有f（x）≥0成立，求g（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若h（x）=f（x）+kx不是[-2，2]上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)a＞0，m＞0，n＜0且m+n＞0，當(dāng)f（x）為偶函數(shù)時(shí)，求證：g（m）+g（n）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由f（0）=1可得c=1；再由f（-2）=0可得4a-2b+1=0，進(jìn)而又由f（x）≥0對x∈R恒成立，知a＞0且△=b²-4a≤0；與4a-2b+1=0聯(lián)立可得（b-1）²≤0，即可得b、a的值；由a、b、c的值可得f（x）的解析式，進(jìn)而可得g（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知h（x）的解析式，分析可得其圖象的對稱軸為x=-2（k+1），再由題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得-2＜-2（k+1）＜2，解可得答案；
（Ⅲ）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可得b=0，即可得f（x）=ax²+1，又由a＞0，由二次函數(shù)的奇偶性可得g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)；又由題意，對m、n的關(guān)系變形可得m＞-n＞0，可得證明．
解答：解：（Ⅰ）由f（0）=c=1，則c=1，
由f（-2）=0得4a-2b+1=0，
又由f（x）≥0對x∈R恒成立，知a＞0且△=b²-4a≤0，
即b²-2b+1=（b-1）²≤0，
∴；
從而；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，其圖象的對稱軸為x=-2（k+1），
再由h（x）在[-2，2]上不是單調(diào)函數(shù)，
故得-2＜-2（k+1）＜2，
解可得-2＜k＜0，
（Ⅲ）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
則b=0，
∴f（x）=ax²+1，
又由a＞0，則f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
從而可得g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又m＞0，n＜0，m+n＞0，
∴m＞-n＞0，從而g（m）＜g（-n）
且g（-n）=-f（-n）=-f（n）=-g（n）
故得g（m）＜-g（n），
因此，g（m）+g（n）＜0．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要充分利用二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．