Question

已知橢圓C經過點M（1，

3

2

），兩個焦點是F₁（-1，0）和F₂（1，0）
（I）求橢圓C的方程；
（II）若A、B為橢圓C的左、右頂點，P是橢圓C上異于A、B的動點，直線AP 與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉動時，求證：以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF₂相切．

Answer 1

分析：（I）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），求出M到焦點的距離，利用橢圓的定義，即可求得橢圓C的方程；
（II）設直線AP的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，求得P的坐標，分類討論，證明圓心E到直線PF₂的距離等于半徑，即可求得結論．

解答：（I）解：設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵M（1，

3

2

），兩個焦點是F₁（-1，0）和F₂（1，0）
∴|MF₁|=

5

2

，|MF2|=

3

2

∴2a=|MF₁|+|MF₂|=4
∴a=2
∴b=

a2-c2

=

3

∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）證明：由題意，A（-2，0），B（2，0），設直線AP：y=k（x+2）（k≠0），則D（2，4k），|BD|=4|k|，BD中點E（2，2k），以BD為直徑的圓E方程是（x-2）²+（y-4k）²=4k²，
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k²）+16k2x+16k²-12=0
設P（x₀，y₀），則x0=

6-8k2

3+4k2

，y0=k(x0+2)=

12k

3+4k2

當直線PF₂⊥x軸時，∵F₂（1，0），∴x0=1，k=±

1

2

以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線PF₂相切；
當直線PF₂與x軸不垂直時，k≠±

1

2

，直線PF₂的斜率為

4k

1-4k2

，方程為4kx-（1-4k²）y-4k=0
圓心E到直線PF₂的距離為

|2k(1+4k2)|

(1+4k2)2

=2|k|
∴以BD為直徑的圓與直線PF₂相切，
綜上可得，以BD為直徑的圓與直線的圓與直線PF₂相切．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查直線與圓的位置關系，利用圓心到直線的距離與半徑的關系是關鍵．