Question

設函數
（1）若，求函數在上的最小值；
（2）若函數在存在單調遞增區間，試求實數的取值范圍；
（3）求函數的極值點.

Answer 1

（1）最小值為.（2）.
（3）當時，函數沒有極值點；時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.

試題分析：（1）的定義域為，根據，得在上增函數，當時，取得最小值.
（2）由于,設.
依題意,在區間上存在子區間使得不等式成立.
根據或，解得實數取值范圍是.
（3）由，令.分，討論的符號及駐點情況.
1)當時，在上恒成立，，此時，函數沒有極值點.
2)當時，
①當即時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點.
②當即時，
當時，易知，這時；
當或時，易知，這時.
時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.
解答本題的主要難度在于轉化思想與分類討論思想的利用.
試題解析：（1）的定義域為，，在上增函數，當時，取得最小值，在上的最小值為.          4分
（2）,設.
依題意,在區間上存在子區間使得不等式成立.
注意到拋物線開口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即實數取值范圍是.          8分
（3），令。
1)顯然，當時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點.
2)當時，
①當即時，在上恒成立，這時，此時，函數沒有極值點.
②當即時，
當時，易知，這時；
當或時，易知，這時.
時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.
綜上，當時，函數沒有極值點；時，是函數的極大值點；是函數的極小值點.    13分