Question

已知圓錐曲線的焦點為，相應的準線方程為，且曲線過定點.

又直線與曲線交于兩點．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）試判斷是否存在直線，使得點是△的重心．若存在，求出對應的直線的方程；

若不存在，請說明理由；

（3）試判斷是否存在直線，使得點是△的的垂心．若存在，求出對應的直線的方程；

若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)根據圓錐曲線的第二定義知，曲線C的離心率根據圓錐曲線的第二定義知，

曲線C的離心率e＝＜1，故為橢圓，

根據條件解得曲線C的軌跡方程為：.       -----------------4分；

（2）假設存在直線l，使得點F是△BMN的重心.

再設直線l與橢圓.的交點M、N的坐標分別為M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，

則由橢圓幾何性質的范圍性知：－≤x₁≤, －≤x₂≤，則－2≤x₁＋x₂≤2＜3，

另一方面，F(1,0)是△BMN的重心, 結合   B(0,1)及重心坐標公式知3×1＝0＋x₁＋x₂，

即x₁＋x₂＝3，這與x₁＋x₂≤2＜3矛盾，     故滿足要求的直線l不存在. --------------8分；

（3）假設存在直線l，使得點F是△BMN的垂心. 由B(0,1)、F(1,0)，知直線BF的斜率為－1. 于是，由BF⊥MN，知直線l的斜率為1.  設直線l方程為y＝x＋b. 與聯立消去y，得3x²＋4bx＋2(b²－1)＝0 （*）

設M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，根據韋達定理得x₁＋x₂＝－, x₁x₂＝.     

若再能保證NF⊥BM，即·＝0，則F必為△BMN的垂心.

∵＝（1－x₂,－y₂）, ＝(x₁,y₁－1) 

·＝(1－x₂)x₁－y₂(y₁－1)＝x₁＋y₂－x₁x₂－y₁y₂＝x₁＋(x₂＋b)－x₁x₂－(x₁＋b)(x₂＋b)

          ＝－2x₁x₂＋(1－b)(x₁＋x₂)＋b－b²＝－2·＋b－b²＝0

即3b²＋b－4＝0，解得b＝1或b＝－. 

當b＝1時，點B即為直線l與橢圓的交點，不合題意；    

當b＝－時，代入方程（*）得3x²－x＋＝0，其判別式△＝＝>0，則兩端點存在，

滿足題設.綜上得，存在直線l: y＝x－，使得點F是△BMN的垂心.     ---------------------16分