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一圓過原點O和點P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.

解法一：因為圓心在直線y=x+2上,所以設圓心坐標為(a,a+2).

則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2.

因為點O(0,0)和P(1,3)在圓上,

所以解得

所以所求的圓的方程為(x+)2+(y)2=.

解法二：由題意得圓的弦OP的斜率為3,中點坐標為(,),

所以弦OP的垂直平分線方程為y=(x),即x+3y-5=0.

因為圓心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,

所以由解得,即圓心坐標為C(,).

又因為圓的半徑r=|OC|==,

所以所求的圓的方程為(x+)2+(y)2=.

點評:圓的標準方程中有a、b、r三個量,要求圓的標準方程即要求a、b、r三個量,有時可用待定系數法.要重視平面幾何中的有關知識在解題中的運用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

以下四個命題：
①已知A、B為兩個定點，若|PA|+|PB|=k（k為常數），則動點P的軌跡為橢圓．
②雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點．
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
④過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，則動點P的軌跡為橢圓；
其中真命題的序號為
②③
②③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下關于圓錐曲線的四個命題：
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，|
PA
|-|
PB
|=k，則動點P的軌跡是雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，則動點P的軌跡是圓（點A除外）；
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④到定點（1，0）的距離比到y軸的距離大1的動點P的軌跡是拋物線．
其中真命題的序號為
②③
②③
（寫出三友真命題的序號）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點（
3
，
3
2
），橢圓C左右焦點分別為F1，F2，上頂點為E，△EF1F2為等邊三角形．定義橢圓C上的點M（x0，y0）的“伴隨點”為N（
x0
a
，
y0
b
）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C1的方程為（x+2a）2+y2=a2，圓C1和x軸相交于A，B兩點，點P為圓C1上不同于A，B的任意一點，直線PA，PB交y軸于S，T兩點．當點P變化時，以ST為直徑的圓C2是否經過圓C1內一定點？請證明你的結論；
（Ⅲ）直線l交橢圓C于H、J兩點，若點H、J的“伴隨點”分別是L、Q，且以LQ為直徑的圓經過坐標原點O．橢圓C的右頂點為D，試探究△OHJ的面積與△ODE的面積的大小關系，并證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•黃浦區一模）已知兩點A（-1，0）、B（1，0），點P（x，y）是直角坐標平面上的動點，若將點P的橫坐標保持不變、縱坐標擴大到
2
倍后得到點Q（x，
2
y）滿足
AQ
•
BQ
=1．
（1）求動點P所在曲線C的軌跡方程；
（2）過點B作斜率為-
2
2
的直線l交曲線C于M、N兩點，且滿足
OM
+
ON
+
OH
=
0
，又點H關于原點O的對稱點為點G，試問四點M、G、N、H是否共圓，若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．

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