Question

已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區間[0，2]上是增函數，則當x∈[-4，4]時不等式x?f′（x）＜0的解集為（　　）

• A、（-2，0）∪（2，4）
• B、（-4，-2）∪（0，2）
• C、（-2，0）
• D、（0，2）

Answer 1

分析：根據條件求出函數的周期性，利用函數的奇偶性周期性和單調性之間的關系得到函數f（x）的草圖，然后討論x的符號，根據函數單調性和導數之間的關系即可得到結論．

解答：解：由f（x-4）=-f（x）得f（x-8）=-f（x-4）=-[-f（x）]=f（x），
即函數的周期是8．
∵函數f（x）是奇函數，
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），
即函數關于

x-4-x

2

=-2對稱．
∴f（0）=0，f（-4）=-f（0）=0，f（4）=0．
∵在區間[0，2]上f（x）是增函數，
∴f（x）在[-2，2]上是增函數，在[2，4]上是減函數，在[-4，-2]上是減函數．
作出函數的草圖如圖：
若x=0時，不等式x•f′（x）＜0不成立．
若x＞0，則不等式x•f′（x）＜0等價為f′（x）＜0，此時函數單調遞減，由圖象可知，此時2＜x＜4．
若x＜0，則不等式x•f′（x）＜0等價為f′（x）＞0，此時函數單調遞增，由圖象可知，此時-2＜x＜0，
故不等式x•f′（x）＜0的解集為（-2，0）∪（2，4）．
故選：A．

點評：本題主要考查函數周期性，奇偶性和單調性之間的關系，利用函數單調性和導數之間的關系即可得到結論．綜合考查了函數性質的綜合應用．