Question

如圖，已知，在空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
（1）求證：平面CDE⊥平面ABC；
（2）若AB=DC=3，BC=5，BD=4，求幾何體ABCD的體積；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AB上找一點F，使得GF∥平面CDE．

Answer 1

分析：（1）先證出直線AB與平面上的兩條相交直線垂直，得到線面垂直，而線又在一個平面上，得到面面垂直．
（2）要求的幾何體是一個三棱錐，線段CD的長是三棱錐C-ABD的高，做出對應的底面的面積，根據三棱錐的體積公式做出結果．
（3）在AB上取一點F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE，取DC的中點H，連AH、EH，根據G為△ADC的重心，得到G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH，再說明線在平面上，得到結論．

解答：解：（1）證明：∵BC=AC，E為AB的中點，
∴AB⊥CE．
又∵AD=BD，E為AB的中點
∴AB⊥DE．
∵DE∩CE=E
∴AB⊥平面DCE
∵AB?平面ABC，
∴平面CDE⊥平面ABC．
（2）∵在△BDC中，DC=3，BC=5，BD=4，
∴CD⊥BD，
在△ADC中，DC=3，AD=BD=4，AC=BC=5，
∴CD⊥AD，
∵AD∩BD=D∴CD⊥平面ABD．所以線段CD的長
是三棱錐C-ABD的高
又在△ADB中，DE=

16- 9 4

=

55

2

∴V_C-ABD=

1

3

•

1

2

•3•

55

2

•3=

3 55

4

（3）在AB上取一點F，使AF=2FE，則可得GF∥平面CDE
取DC的中點H，連AH、EH
∵G為△ADC的重心，
∴G在AH上，且AG=2GH，連FG，則FG∥EH
又∵FG?平面CDE，EH?平面CDE，
∴GF∥平面CDE

點評：本題考查空間幾何體的點線面之間的關系的證明，本題解題的關鍵是熟練所學的判定定理和性質定理，這里反復使用定理來解題．