Question

已知等差數列{a_n}公差為d（d≠0），前n項和為S_n；

.

x

n表示{a_n}的前n項的平均數，且數列{

.

x

n}的前n項和為T_n，數列{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n項和為A_n，則

lim

n→∞

An

 

．

Answer 1

分析：表示出前n項的平均數，整理發現它是等差數列，寫出數列的前n項和，寫出兩個前n項和的差，用列想法整理結果，得到最簡形式，最后求極限．

解答：解：∵

.

x

n=

a1+a2++an

n

=

Sn

n

=

na1+ n(n-1) 2 d

n

=a1+(n-1)•

d

2

，
∴{

.

x

n}是以a₁為首項，以

d

2

為公差的等差數列，
得T_n=na1+

n(n-1)

2

•

d

2

．
∵S_n=na1+

n(n-1)

2

d，
∴Sn-Tn=

n(n-1)

4

•d，
∴

1

Sn+1-Tn+1

=

4

d

•

1

n(n+1)

=

4

d

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴An=

4

d

•[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

4

d

•(1-

1

n+1

)，
∴

lim

n→∞

An=

lim

n→∞

4

d

(1-

1

n+1

)=

4

d

．

點評：本題考查了等差數列的概念、求和公式，數列求和方法即裂項相消法及極限求解的基礎知識．把數列的每一項分成兩項，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和目的，此法稱為裂項相消法．