Question

已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.
（1）求實數的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點的縱坐標為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據雙曲線的離心率列方程求出實數的值；（2）設點的坐標為，點的坐標為，利用條件確定與、之間的關系，再結合點在雙曲線上這一條件，以及斜率公式來證明直線與直線的斜率之積是定值；（3）證法一是先設點、的坐標分別為、，結合（2）得到，，引入參數，利用轉化為相應的條件，利用坐標運算得到點的坐標所滿足的關系式，進而證明點恒在定直線上；證法二是設直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯立，結合韋達定理，將條件進行等價轉化為，結合韋達定理化簡為，最后利用點在直線上得到，從而消去得到
，進而證明點恒在定直線上.
試題解析：（1）根據雙曲線的定義可得雙曲線的離心率為，由于，解得，
故雙曲線的方程為；
（2）設點的坐標為，點的坐標為，易知點，
則，，
，因此點的坐標為，
故直線的斜率，直線的斜率為，
因此直線與直線的斜率之積為，
由于點在雙曲線上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）證法一：設點 且過點的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、，由（2）知，，，
設，則，即，
整理得，
由①③，②④得，，
將，，代入⑥得，⑦，
將⑦代入⑤得，即點恒在定直線上；
證法二：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，
由，
消去得，
因為直線與雙曲線的右支交于不同的兩點、，
則有，
設點，由，得，
整理得，
將②③代入上式得，
整理得，④
因為點在直線上，所以，⑤
聯立④⑤消去得，所以點恒在定直線.