Question

記事件A=“直線ax-by=0與圓（x-2）²+y²=1相交”．
（Ⅰ）若將一顆骰子投擲兩次得到的點數分別為a、b，求事件A發生的概率；
（Ⅱ）若實數a、b滿足(a-2)2+(b-

3

)2＜1，求事件A發生的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：故b＞

3

a，可列舉得到方法種數，進而可得所要求的概率；
（Ⅱ）首先確定為幾何概型，然后分別求兩個面積可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：直線ax-by=0與圓（x-2）²+y²=1相交，
所以圓心（2，0）到直線的距離d=

|2a|

a2+b2

＜1，即3a²＜b²，
又a、b均大于0，故b＞

3

a，
當a=1時，b=2，3，4，5，6；當a=2時，b=4，5，6；當a=3時，b=6，
故事件A發生的方法種數為9，而總的方法種數為6×6=36
故事件A發生的概率為P=

9

36

=

1

4

（Ⅱ）依題意為幾何概型，b＞

3

a與(a-2)2+(b-

3

)2＜1的公共面積為
直線b=

3

a與圓(a-2)2+(b-

3

)2=1相交的弓形的面積，由點到直線的距離公式可得：
圓心到直線的距離d′=

|2 3 - 3 |

2

=

3

2

，故扇形的中心角為

π

3

，
則弓形的面積S=

1

6

π1²-

3

4

12=

2π-3 3

12

，
故所求的概率為：

2π-3 3 12

π

=

2π-3 3

12π

點評：本題考查古典型和幾何概型，分清兩種概型是解決問題的關鍵，屬基礎題．