Question

某公司生產一種產品的固定成本是10000元，每生產一件產品需要另外投入80元，又知市場對這種產品的年需求量為800件，且銷售收入函數g（t）=-t²+1000t，其中t是產品售出的數量，且0≤t≤800（利潤=銷售收入-成本）．
（1）若x為年產量，y表示利潤，求y=f（x）的解析式；
（2）當年產量為多少時，求工廠年利潤的最大值？

Answer 1

分析：（1）根據利潤=銷售收入-成本，結合銷售收入函數，可得分段函數；
（2）分段求出函數的最值，從而可得工廠的利潤最大值．

解答：解：（1）根據利潤=銷售收入-成本，
當0≤x≤800時，t=x，可得y=-x²+1000x-10000-80x=-x²+920x-10000
當x＞800時，t=800，y=-800²+1000×800-10000-80x=150000-80x（4分）
∴f（x）=

x2+920x-10000，0≤x≤800 150000-80x，x＞800

 （ 6分）
（2）由（1）知
當0≤x≤800時，可得f（x）=-x²+920x-10000=-（x-460）²+201600
當x=460時，f（x）取最大值201600
當x＞800時，y=150000-80x＜86000
∴當年產量為460臺時，工廠年利潤的最大值為201600元

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的最值，解題的關鍵是正確構建函數，確定函數的最值．