Question

設定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為.
（1）求軌跡的方程；
（2）已知，過定點的動直線交軌跡于、兩點，的外心為．若直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

（1）；（2）見解析

試題分析：（1）求軌跡的方程，由題意定圓，動圓過點且與圓相切，可知點在圓內，由此可得圓內切于圓，可得，根據橢圓定義可知軌跡為橢圓，故可求出軌跡的方程；（2）求證：為定值，由題意直線斜率不為0，可設直線為， 設點，，由，由根與系數關系得，寫出直線的中垂線方程，與直線的中垂線方程，求出點的坐標，即得直線的斜率，從而可得為定值．
試題解析：（1）∵點在圓內 ∴圓內切于圓
∴
∴點的軌跡.的方程為                              5分
（2）由存在 ∴ 直線斜率不為0

設直線為      設點， 


直線的中垂線方程為：
即  ∵ ∴即
即 即
同理可得直線的中垂線方程為：                  7分
∴點的坐標滿足

   9分

又∵直線的斜率為 ∴（）               13分