Question

已知橢圓C的方程為，其離心率為，經過橢圓焦點且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：與橢圓C交于A、B兩點，P為橢圓上的點，O為坐標原點，且滿足，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ） 。

解析試題分析：（Ⅰ）由已知可得，
所以
又
解之得
故橢圓的方程為．       5分
（Ⅱ） 由消y化簡整理得：，
 ①  
設點的坐標分別為，
         8分
由于點在橢圓上，所以 ．
從而，化簡得，經檢驗滿足①式．
又
 
因為，得3≤4k²＋3≤4，
有≤≤1，故        12分
考點：橢圓的標準方程，平面向量的線性運算，直線與橢圓的位置關系。
點評：中檔題，確定圓錐曲線的標準方程，往往利用幾何特征，確定a,b,c,e得到關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題利用韋達定理，簡化了計算過程。